Diferencialas

Diferencialas – funkcijos pokyčio tiesinė pagrindinė dalis. Funkcija y = f(x), apibrėžta intervale (a, b), vadinama diferencijuojama taške x ${\displaystyle _{\in }}$(a, b), jei jos pokytį Δy = f(x + Δx) – f(x) galima išreikšti dviejų dėmenų suma: Δy = AΔx + o(Δx); čia A – skaičius, nepriklausantis nuo Δx.

Funkcijos ${\displaystyle f(x)}$ diferencialas taške ${\displaystyle x_{0}}$.

Direfencialas žymimas: ${\displaystyle dy=d(f(a))=f'(a)\Delta x}$, iš to seka, kad funkcijos pokytis Δy mažai skiriasi nuo jos diferencialo:

${\displaystyle \Delta y\approx \Delta y}$

Pavyzdžiui, yra funkcija f(x)=x². Tos funkcijos išvestinė yra ${\displaystyle {\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}={\frac {(x+\Delta x)^{2}-x^{2}}{\Delta x}}=}$ ${\displaystyle ={\frac {x^{2}+2x\Delta x+(\Delta x)^{2}-x^{2}}{\Delta x}}={\frac {2x\Delta x+(\Delta x)^{2}}{\Delta x}}=2x+\Delta x}$

${\displaystyle y'=f'(x)={\frac {dy}{dx}}=\lim _{\Delta x\to 0}(2x+\Delta x)=2x.}$

Įstatykime vietoje x kokią nors reikšmę, pavyzdžiui, x=3.

Δy = AΔx + o(Δx) = 2xΔx + (Δx)²=6Δx + (Δx)²,

čia A = 2x = 6 = f'(x); (Δx)² = o(Δx).

Taigi funkcijos pokytis yra Δy = f(x + Δx) – f(x) = AΔx + o(Δx), o diferencialas dy = AΔx = y'Δx = y’dx = f'(x)dx; Δx = dx.

Diferencijuojamumui būtina sąlyga yra funkcijos tolydumas. Tačiau ne visos tolydžios funkcijos yra diferencijuojamos. Kaip vienas iš tokių nediferencijuojamų funkcijų pavyzdžių yra Vejerštraso funkcija.

Taip pat skaitykite

• Integralas
• Pilnųjų diferencialų integravimas

Šaltiniai

1. Autorių kolektyvas. Matematika. Vadovėlis XI klasei ir gimnazijų III klasei II dalis. – Kaunas: Šviesa, 2004. – 162 p. ISBN 5-430-03784-2